Дано:
- Окружность радиусом R.
- Длина стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность.
Найти:
Вероятность того, что отрезок, соединяющий две случайно выбранные точки на окружности, длиннее длины стороны равностороннего треугольника.
Решение:
1. Длина стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна:
a = R * корень из 3.
2. Длина отрезка между двумя произвольно выбранными точками на окружности определяется углом между этими двумя точками. Пусть θ - угол между радиусами, проведенными к этим двум точкам. Длина отрезка L между точками на окружности можно выразить как:
L = 2R * синус(θ / 2).
3. Теперь нужно найти вероятность того, что L > a. Это означает:
2R * синус(θ / 2) > R * корень из 3,
или
2 * синус(θ / 2) > корень из 3.
4. Делим обе стороны на 2:
синус(θ / 2) > корень из 3 / 2.
5. Угловое значение θ / 2, для которого это условие выполняется, можно найти следующим образом:
синус(θ / 2) = корень из 3 / 2 соответствует углам θ / 2 = 60° и θ / 2 = 120°. Таким образом,
θ / 2 > 60° приводит к
θ > 120° и θ < 240°.
6. Поскольку полный круг имеет 360°, интересующий нас интервал угла θ составляет:
[120°, 240°], который равен:
240° - 120° = 120°.
7. Для нахождения вероятности делим длину данного угла на полный круг:
P = (120°) / (360°) = 1/3.
Ответ:
Вероятность того, что отрезок, соединяющий случайно выбранные точки, длиннее стороны равностороннего треугольника, равна 1/3.