дано:
знаменатель q = 1/4,
S4 = 42,5,
найти:
b1 (первый член прогрессии).
решение:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
S_n = b1 * (1 - q^n) / (1 - q),
где S_n - сумма первых n членов, b1 - первый член, q - знаменатель, n - количество членов.
Подставим известные значения в формулу для S4:
S4 = b1 * (1 - q^4) / (1 - q).
Заменим q на 1/4 и подставим S4 = 42,5:
42,5 = b1 * (1 - (1/4)^4) / (1 - 1/4).
Вычислим (1/4)^4:
(1/4)^4 = 1/256.
Подставим это значение:
42,5 = b1 * (1 - 1/256) / (1 - 1/4).
Теперь вычислим (1 - 1/256):
1 - 1/256 = 255/256.
Теперь вычислим (1 - 1/4):
1 - 1/4 = 3/4.
Теперь у нас есть:
42,5 = b1 * (255/256) / (3/4).
Преобразуем дробь:
(255/256) / (3/4) = (255/256) * (4/3) = 1020/768 = 255/192.
Таким образом, у нас получается:
42,5 = b1 * (255/192).
Теперь выразим b1:
b1 = 42,5 * (192/255).
Рассчитаем значение:
b1 = 42,5 * 192 / 255 = 32.
ответ:
b1 = 32.