дано:
знаменатель q = 1/3,
S4 = 80,
найти:
b1 (первый член прогрессии).
решение:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
S_n = b1 * (1 - q^n) / (1 - q),
где S_n - сумма первых n членов, b1 - первый член, q - знаменатель, n - количество членов.
Подставим известные значения в формулу для S4:
S4 = b1 * (1 - q^4) / (1 - q).
Заменим q на 1/3 и подставим S4 = 80:
80 = b1 * (1 - (1/3)^4) / (1 - 1/3).
Вычислим (1/3)^4:
(1/3)^4 = 1/81.
Подставим это значение:
80 = b1 * (1 - 1/81) / (1 - 1/3).
Теперь вычислим (1 - 1/81):
1 - 1/81 = 80/81.
Теперь вычислим (1 - 1/3):
1 - 1/3 = 2/3.
Теперь у нас есть:
80 = b1 * (80/81) / (2/3).
Преобразуем дробь:
(80/81) / (2/3) = (80/81) * (3/2) = 240/162 = 120/81 = 40/27.
Таким образом, у нас получается:
80 = b1 * (40/27).
Теперь выразим b1:
b1 = 80 * (27/40).
Рассчитаем значение:
b1 = 80 * 27 / 40 = 54.
ответ:
b1 = 54.