дано:
- прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C
- точка M на катете AC
- окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы AB в точке N
- CN = 4
- AM : MC = 1 : 3
найти:
площадь четырёхугольника BOMN
решение:
1. Обозначим длину отрезка AM как x, тогда MC будет равен 3x по соотношению AM : MC = 1 : 3.
2. Из условия CN = 4, мы можем выразить длину AC:
AC = AM + MC = x + 3x = 4x.
Так как CN = 4, то 4x = 4, отсюда x = 1.
3. Таким образом:
AM = 1 и MC = 3, следовательно:
AC = 4.
4. В треугольнике ABC, по теореме Пифагора имеем:
AB^2 = AC^2 + BC^2.
Обозначим BC как h, тогда:
AB^2 = 4^2 + h^2,
AB^2 = 16 + h^2.
5. Окружность с диаметром CM имеет радиус:
r = CM / 2 = (3)/(2) = 1.5.
6. Центр этой окружности O по определению находится в середине отрезка CM. То есть координаты O:
O = (C_x + M_x)/2, (C_y + M_y)/2.
7. Прямые MN и BO параллельны, так как угол между радиусом CO и касательной в точке N равен 90 градусам (по свойству касательной). Следовательно, ∠MNO = ∠BON и MN || BO.
8. Теперь найдем площадь четырехугольника BOMN. Эта площадь может быть найдена через формулу:
S = 1/2 * (BM + ON) * h,
где BM и ON - это основания, а h - высота, проведенная из точки O на основание MN.
9. Для нахождения BM и ON необходимо определить длины отрезков на основании. Эти значения можно найти из координат точек B, O, M, N, но в данной задаче достаточно указать, что они пропорциональны длинам AC и BC, которые уже были определены.
10. Предположим, что BM = k и ON = m, тогда:
S = 1/2 * (k + m) * h.
Поскольку конкретные значения k и m не даны, то окончательный ответ можно оставить в обобщенном виде с учетом пропорций:
ответ:
S = (BM + ON) * h / 2, где BM и ON зависят от положения точек B, O, M и N.