Дано:
- Коэффициент жесткости пружин: k1 = k2 = k (две одинаковые пружины)
Найти:
- Во сколько раз увеличится частота вертикальных колебаний груза, если соединение пружин заменить параллельным.
Решение:
1. Определим жесткость пружин при последовательном соединении.
При последовательном соединении жесткость рассчитывается по формуле:
1/kс = 1/k1 + 1/k2
Так как пружины одинаковые, k1 = k2 = k, то:
1/kс = 1/k + 1/k = 2/k
kс = k/2
2. Определим жесткость пружин при параллельном соединении.
При параллельном соединении жесткость складывается:
kп = k1 + k2
kп = k + k = 2k
3. Теперь найдем период колебаний для обеих систем.
Период колебаний T рассчитывается по формуле:
T = 2 * π * sqrt(m / k)
где m – масса груза.
4. Найдем период колебаний для последовательного соединения.
Tс = 2 * π * sqrt(m / kс)
Подставляем значение kс:
Tс = 2 * π * sqrt(m / (k/2)) = 2 * π * sqrt(2m / k)
5. Найдем период колебаний для параллельного соединения.
Tп = 2 * π * sqrt(m / kп)
Подставляем значение kп:
Tп = 2 * π * sqrt(m / (2k))
6. Теперь найдем частоты колебаний. Частота f обратна периоду T:
f = 1/T
Таким образом, частота для последовательного соединения:
fс = 1/Tс = 1 / (2 * π * sqrt(2m / k))
А частота для параллельного соединения:
fп = 1/Tп = 1 / (2 * π * sqrt(m / (2k)))
7. Теперь найдем отношение частот fп и fс:
fп / fс = (1 / (2 * π * sqrt(m / (2k)))) / (1 / (2 * π * sqrt(2m / k)))
Упрощаем это выражение:
fп / fс = sqrt(2m / k) / sqrt(m / (2k))
Теперь упрощаем:
fп / fс = sqrt(2m / k) * sqrt(2k / m)
fп / fс = sqrt(2 * 2)
fп / fс = sqrt(4)
fп / fс = 2
Ответ: Частота вертикальных колебаний груза увеличится в 2 раза при переходе от последовательного соединения пружин к параллельному.