Дано:
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A ∩ B) = 0,3
Найти:
а) P(A ∪ B)
б) P(A ∪ B)
в) P(A^c ∪ B^c)
г) P(A^c ∩ B^c)
д) P(A ∩ B^c)
е) P(A^c ∪ B)
Решение:
1) Находим P(A ∪ B) с помощью формулы:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 - 0,3
P(A ∪ B) = 0,6.
2) Находим P(A^c ∪ B^c):
Используем закон де Моргана:
P(A^c ∪ B^c) = 1 - P(A ∩ B)
Также можно использовать формулу:
P(A^c ∪ B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c ∩ B^c).
Сначала найдем P(A^c) и P(B^c):
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6
P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0,5 = 0,5.
Теперь находим P(A^c ∩ B^c):
P(A^c ∩ B^c) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0,6 = 0,4.
Теперь подставим в формулу:
P(A^c ∪ B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c ∩ B^c)
P(A^c ∪ B^c) = 0,6 + 0,5 - 0,4
P(A^c ∪ B^c) = 0,7.
3) Находим P(A ∩ B^c):
P(A ∩ B^c) = P(A) - P(A ∩ B)
P(A ∩ B^c) = 0,4 - 0,3
P(A ∩ B^c) = 0,1.
4) Находим P(A^c ∪ B):
P(A^c ∪ B) = P(A^c) + P(B) - P(A^c ∩ B)
Для нахождения P(A^c ∩ B) используем формулу:
P(A^c ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B).
P(A^c ∩ B) = 0,5 - 0,3 = 0,2.
Теперь подставляем в формулу:
P(A^c ∪ B) = P(A^c) + P(B) - P(A^c ∩ B)
P(A^c ∪ B) = 0,6 + 0,5 - 0,2
P(A^c ∪ B) = 0,9.
Ответ:
а) P(A ∪ B) = 0,6
б) P(A ∪ B) = 0,6
в) P(A^c ∪ B^c) = 0,7
г) P(A^c ∩ B^c) = 0,4
д) P(A ∩ B^c) = 0,1
е) P(A^c ∪ B) = 0,9.