дано:
1. Петя бросил монету 100 раз.
2. Вася бросил монету 101 раз.
3. Вероятность выпадения орла при каждом броске равна 0,5.
найти:
Вероятность того, что у Васи выпало больше орлов, чем у Пети.
решение:
Обозначим X — количество орлов у Пети, а Y — количество орлов у Васи.
X распределен по биномиальному закону с параметрами n = 100 и p = 0.5:
P(X = k) = C(100, k) * (0.5)^k * (0.5)^(100 - k) = C(100, k) * (0.5)^(100).
Y распределен по биномиальному закону с параметрами n = 101 и p = 0.5:
P(Y = j) = C(101, j) * (0.5)^j * (0.5)^(101 - j) = C(101, j) * (0.5)^(101).
Необходимо найти P(Y > X):
P(Y > X) = Σ P(Y = j) * P(X < j), где сумма берется по всем возможным j от 0 до 101.
Для каждого j нужно рассчитать:
P(X < j) = Σ P(X = k), где сумма берется по всем k от 0 до j-1:
P(X < j) = Σ C(100, k) * (0.5)^(100), k от 0 до j-1.
Теперь для P(Y > X):
P(Y > X) = Σ [C(101, j) * (0.5)^(101)] * [Σ C(100, k) * (0.5)^(100)], k от 0 до j-1, j от 0 до 101.
Эта формула может быть вычислена численно или с помощью программного обеспечения, так как прямое аналитическое решение затруднительно из-за большого числа операций.
Можно также использовать симуляции или табличные данные для получения приближенного значения.
Рассмотрим использование нормального распределения для упрощения:
По центральной предельной теореме:
X ~ N(50, 25) (математическое ожидание 50, дисперсия 25),
Y ~ N(50.5, 25.25) (математическое ожидание 50.5, дисперсия 25.25).
Теперь определяем Z = Y - X, где Z будет нормально распределенной величиной:
Z ~ N(0.5, 50.25).
Подсчитываем вероятность:
P(Z > 0) = P((Z - 0.5) / sqrt(50.25) > -0.5 / sqrt(50.25)).
Используя стандартную таблицу нормального распределения, можно найти соответствующее значение вероятности.
ответ:
Вероятность того, что у Васи выпало больше орлов, чем у Пети, составляет примерно 0,52.