Дано:
- Всего деталей: 20
- Бракованных деталей: 4
- Исправных деталей: 20 - 4 = 16
- Количество вынимаемых деталей: 4
Найти:
а) вероятность того, что все 4 детали будут исправные;
б) вероятность того, что все 4 детали будут бракованные;
в) вероятность того, что хотя бы одна из деталей будет бракованная;
г) вероятность того, что будет поровну исправных и бракованных (2 исправные и 2 бракованные).
Решение:
а) Для того, чтобы все 4 детали были исправные, необходимо выбрать 4 исправные детали из 16. Количество способов выбрать 4 исправные детали: C(16, 4). Общее количество способов выбрать любые 4 детали из 20: C(20, 4).
Вероятность того, что все 4 детали будут исправные:
P(все исправные) = C(16, 4) / C(20, 4)
Теперь рассчитаем:
C(16, 4) = 16! / (4! * (16 - 4)!) = (16 * 15 * 14 * 13) / (4 * 3 * 2 * 1) = 1820
C(20, 4) = 20! / (4! * (20 - 4)!) = (20 * 19 * 18 * 17) / (4 * 3 * 2 * 1) = 4845
Таким образом:
P(все исправные) = 1820 / 4845 ≈ 0.3757
Ответ: 0.3757
б) Для того, чтобы все 4 детали были бракованные, необходимо выбрать 4 бракованные детали из 4. Количество способов выбрать 4 бракованные детали: C(4, 4). Общее количество способов выбрать любые 4 детали из 20: C(20, 4).
Вероятность того, что все 4 детали будут бракованные:
P(все бракованные) = C(4, 4) / C(20, 4)
Теперь рассчитаем:
C(4, 4) = 1
C(20, 4) = 4845 (как ранее)
Таким образом:
P(все бракованные) = 1 / 4845 ≈ 0.000206
Ответ: 0.000206
в) Вероятность того, что хотя бы одна деталь будет бракованная, можно найти через дополнительное событие: 1 минус вероятность того, что все детали исправные.
P(хотя бы одна бракованная) = 1 - P(все исправные)
Подставим значение:
P(хотя бы одна бракованная) = 1 - 0.3757 = 0.6243
Ответ: 0.6243
г) Чтобы найти вероятность того, что будет поровну исправных и бракованных (2 исправные и 2 бракованные), необходимо рассчитать количество способов выбрать 2 исправные из 16 и 2 бракованные из 4.
Количество способов выбрать 2 исправные детали из 16: C(16, 2)
Количество способов выбрать 2 бракованные детали из 4: C(4, 2)
Общее количество способов выбрать любые 4 детали из 20: C(20, 4)
Вероятность того, что будет поровну исправных и бракованных:
P(2 исправные и 2 бракованные) = (C(16, 2) * C(4, 2)) / C(20, 4)
Теперь рассчитаем:
C(16, 2) = 16! / (2! * (16 - 2)!) = (16 * 15) / (2 * 1) = 120
C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6
C(20, 4) = 4845 (как ранее)
Таким образом:
P(2 исправные и 2 бракованные) = (120 * 6) / 4845 = 720 / 4845 ≈ 0.1487
Ответ: 0.1487