Дано:
Кубик с шестью гранями. Необходимость увидеть каждую из граней хотя бы один раз.
Найти:
Среднее количество бросков кубика, необходимое для того, чтобы увидеть все шесть сторон.
Решение:
Задача о том, сколько раз нужно бросить кубик, чтобы увидеть все его стороны, относится к теории вероятностей и называется "задача о collecting coupons".
Обозначим количество граней кубика как n = 6.
Для решения этой задачи можно использовать следующий подход:
1. Пусть T_k – это ожидаемое количество бросков, необходимых для того, чтобы получить k-ю уникальную грань после того, как мы уже получили (k-1) уникальных граней.
2. Вероятность того, что при следующем броске мы получим новую грань, равна (n - (k - 1)) / n, так как у нас осталось n - (k - 1) новых граней.
3. Следовательно, среднее количество бросков для получения новой грани будет равно обратной вероятности, то есть n / (n - (k - 1)).
Теперь можем выразить общее ожидаемое количество бросков для получения всех n граней:
E(T) = T_1 + T_2 + T_3 + ... + T_n
Где
T_k = n / (n - (k - 1))
Таким образом:
E(T) = n / n + n / (n - 1) + n / (n - 2) + ... + n / 1
E(T) = 6 * (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6)
Теперь необходимо вычислить сумму:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 ≈ 1 + 0.5 + 0.333 + 0.25 + 0.2 + 0.1667 ≈ 2.45
Таким образом:
E(T) ≈ 6 * 2.45 ≈ 14.7
Ответ: В среднем нужно бросить кубик примерно 14.7 раз, чтобы увидеть все его стороны.