Дано:
- Максимальное отклонение от номинала = 1 мм
- Стандартное отклонение (σ) = 0,05 мм
Найти:
а) Процент годных деталей.
б) Какой должна быть точность станка σ, чтобы доля годных деталей повысилась до 98%.
Решение:
а) Для нахождения процента годных деталей воспользуемся нормальным распределением.
1. Установим границы допустимого диаметра втулки:
Нижняя граница (L) = D - 1 мм
Верхняя граница (U) = D + 1 мм
2. Рассчитаем Z-значения для этих границ:
Z1 = (L - μ) / σ = (D - 1 - D) / 0,05 = -1 / 0,05 = -20
Z2 = (U - μ) / σ = (D + 1 - D) / 0,05 = 1 / 0,05 = 20
3. Используя таблицу стандартного нормального распределения, находим вероятности:
P(Z < -20) ≈ 0 (очень малая вероятность)
P(Z < 20) ≈ 1 (практически вся площадь)
4. Теперь считаем долю годных втулок:
D = P(L < X < U) = P(Z < Z2) - P(Z < Z1)
D = 1 - 0 = 1
Процент годных деталей составляет 100%.
б) Теперь найдем, какой должна быть точность станка σ, чтобы доля годных деталей повысилась до 98%.
1. Для этого определим Z-значение, соответствующее 98% вероятности. Из таблицы стандартного нормального распределения мы имеем:
P(Z < z) = 0,98 → z ≈ 2,05 (по таблице Z)
2. Устанавливаем границы для нового стандартного отклонения σ:
L = D - 1
U = D + 1
3. Записываем уравнения для Z-значений:
Z1 = (L - μ) / σ → -1 = -1 / σ
Z2 = (U - μ) / σ → 1 = 1 / σ
4. Применяем свойства нормального распределения:
P(Z < 2,05) - P(Z < -2,05) = 0,98
Принимаем, что P(Z < -2,05) ≈ 0,02.
5. Таким образом, 0,98 = 1 - P(Z < -2,05) означает, что нам нужно:
2,05 * σ = 1
σ = 1 / 2,05
σ ≈ 0,4878 мм
Ответ:
а) Процент годных деталей составляет 100%.
б) Стандартное отклонение σ должно быть примерно 0,4878 мм, чтобы доля годных деталей повысилась до 98%.