Дано:
- Вероятность, что фонарь изготовлен на заводе в городе В: P(V) = 0.3
- Вероятность, что фонарь изготовлен на заводе в городе К: P(K) = 0.7
- Вероятность брака на заводе в городе В: P(B|V) = 0.04
- Вероятность брака на заводе в городе К: P(B|K) = 0.02
Найти:
а) Вероятность того, что случайный фонарь в магазине окажется бракованным: P(B).
б) Вероятность того, что фонарь изготовлен в городе В, при условии что он бракованный: P(V|B).
в) Вероятность того, что фонарь изготовлен в городе К, при условии что он хороший: P(K|G), где G - хороший фонарь.
Решение:
а) Для нахождения P(B) воспользуемся формулой полной вероятности:
P(B) = P(B|V) * P(V) + P(B|K) * P(K)
Подставим известные значения:
P(B) = (0.04 * 0.3) + (0.02 * 0.7)
P(B) = 0.012 + 0.014
P(B) = 0.026
Ответ: Вероятность того, что случайный фонарь в магазине окажется бракованным, равна 0.026.
б) Теперь найдем P(V|B) по формуле Байеса:
P(V|B) = (P(B|V) * P(V)) / P(B)
Подставим известные значения:
P(V|B) = (0.04 * 0.3) / 0.026
P(V|B) = 0.012 / 0.026
P(V|B) ≈ 0.4615
Ответ: Вероятность того, что бракованный фонарь изготовлен в городе В, равна примерно 0.4615.
в) Для нахождения P(K|G) используем формулу полной вероятности и формулу Байеса:
Сначала найдем вероятность того, что фонарь хороший:
P(G) = 1 - P(B) = 1 - 0.026 = 0.974
Теперь используем формулу для P(K|G):
P(K|G) = (P(G|K) * P(K)) / P(G)
Где P(G|K) = 1 - P(B|K) = 1 - 0.02 = 0.98.
Теперь подставим известные значения:
P(K|G) = (0.98 * 0.7) / 0.974
P(K|G) = 0.686 / 0.974
P(K|G) ≈ 0.7031
Ответ: Вероятность того, что хороший фонарь изготовлен в городе К, равна примерно 0.7031.