Дано:
Монета бросается 8 раз.
Найти:
Распределение случайной величины Y — число выпавших орлов.
Решение:
Случайная величина Y может принимать значения от 0 до 8 (включительно), поскольку в каждом броске монеты может выпасть либо орел, либо решка.
Так как каждый бросок независим, можно использовать биномиальное распределение. Вероятность успеха (выпадение орла) p = 1/2, а вероятность неуспеха (выпадение решки) q = 1/2.
Формула для биномиального распределения:
P(Y = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где:
- C(n, k) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как n! / (k! * (n-k)!),
- n — общее количество бросков (n = 8),
- k — количество выпавших орлов (k = 0, 1, 2, ..., 8).
Следовательно, подставим значения:
P(Y = k) = C(8, k) * (1/2)^k * (1/2)^(8-k) = C(8, k) * (1/2)^8.
Таким образом, распределение случайной величины Y будет:
P(Y = 0) = C(8, 0) * (1/2)^8 = 1/256,
P(Y = 1) = C(8, 1) * (1/2)^8 = 8/256 = 1/32,
P(Y = 2) = C(8, 2) * (1/2)^8 = 28/256 = 7/64,
P(Y = 3) = C(8, 3) * (1/2)^8 = 56/256 = 7/32,
P(Y = 4) = C(8, 4) * (1/2)^8 = 70/256 = 35/128,
P(Y = 5) = C(8, 5) * (1/2)^8 = 56/256 = 7/32,
P(Y = 6) = C(8, 6) * (1/2)^8 = 28/256 = 7/64,
P(Y = 7) = C(8, 7) * (1/2)^8 = 8/256 = 1/32,
P(Y = 8) = C(8, 8) * (1/2)^8 = 1/256.
Ответ:
Случайная величина Y имеет распределение: P(Y = k) = C(8, k) * (1/2)^8 для k = 0, 1, 2, ..., 8.