Дано:
- Скорость лодки относительно воды (v_l) = 3 км/ч.
- Скорость катера относительно воды (v_c) = 10 км/ч.
- Лодка движется от пункта А к пункту Б.
- Катер движется от пункта Б к пункту А и успевает пройти дважды туда и обратно.
Найти:
Скорость течения реки (v_t).
Решение:
1. Обозначим расстояние между пунктами А и Б как S км.
2. Время, которое лодка тратит на путь от А до Б, обозначим как t. Тогда:
t = S / (v_l + v_t)
где v_t - скорость течения реки. Скорость лодки относительно берега равна v_l + v_t, так как лодка движется вниз по течению.
3. За то же время катер успевает пройти дважды туда и обратно. Таким образом, он проходит:
2 * S + 2 * S = 4S
4. Время, затраченное катером на этот путь, можно выразить так:
t = 4S / (v_c - v_t)
где v_c - скорость катера относительно берега, равная v_c - v_t, так как катер движется против течения.
5. Установим равенство времени:
S / (3 + v_t) = 4S / (10 - v_t)
6. Упростим уравнение, сократив S (предполагая S ≠ 0):
1 / (3 + v_t) = 4 / (10 - v_t)
7. Перемножим обе части на (3 + v_t)(10 - v_t):
10 - v_t = 4(3 + v_t)
8. Раскроем скобки:
10 - v_t = 12 + 4v_t
9. Переносим все в одну сторону:
10 - 12 = 4v_t + v_t
-2 = 5v_t
10. Найдем скорость течения:
v_t = -2 / 5 = -0.4 км/ч
По модулю скорость течения составляет 0.4 км/ч, направление — против течения.
Ответ: скорость течения реки равна 0.4 км/ч (против течения).