Дано:
- Высота h = 8.75 м
- Интервал времени между двумя проходами этой высоты t_interval = 3 с
- Ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти:
- Начальную скорость v_0 камня.
Решение:
1. Используем уравнение движения для высоты:
h = v_0 * t - (1/2) * g * t²
2. Пусть t_1 - время, когда камень достигает высоты 8.75 м первый раз, и t_2 - время, когда он достигает этой высоты второй раз. Тогда t_2 = t_1 + t_interval = t_1 + 3.
3. Запишем два уравнения для высоты 8.75 м:
Для t_1:
8.75 = v_0 * t_1 - (1/2) * g * t_1²
Для t_2:
8.75 = v_0 * (t_1 + 3) - (1/2) * g * (t_1 + 3)²
4. Подставим g = 9.81 м/с² в уравнения:
Первое уравнение:
8.75 = v_0 * t_1 - 4.905 * t_1²
Второе уравнение:
8.75 = v_0 * (t_1 + 3) - 4.905 * (t_1 + 3)²
5. Раскроем второе уравнение:
8.75 = v_0 * (t_1 + 3) - 4.905 * (t_1² + 6t_1 + 9)
8.75 = v_0 * (t_1 + 3) - 4.905 * t_1² - 29.43 * t_1 - 44.145
6. Подставим первое уравнение (выразим v_0):
v_0 = (8.75 + 4.905 * t_1²) / t_1
7. Подставим это значение v_0 во второе уравнение:
8.75 = [(8.75 + 4.905 * t_1²) / t_1] * (t_1 + 3) - 4.905 * t_1² - 29.43 * t_1 - 44.145
8. Упростим это уравнение:
8.75 * t_1 = (8.75 + 4.905 * t_1²) * (1 + 3/t_1) - 4.905 * t_1² - 29.43 * t_1 - 44.145
9. Приведем все к одному уравнению. Это будет достаточно сложное уравнение, и его лучше решать численно. Но в общем виде:
(8.75 + 4.905 * t_1²) * 3 = 44.145 + 29.43 * t_1 + 4.905 * t_1²
10. После упрощения:
3 * 8.75 + 4.905 * t_1² = 44.145 + 29.43 * t_1 + 4.905 * t_1²
26.25 = 44.145 + 29.43 * t_1
11. Находим t_1:
29.43 * t_1 = 26.25 - 44.145
t_1 ≈ -0.603/29.43 ≈ -0.0205 (отрицательное значение не имеет смысла, нужно попробовать другой подход)
12. Определим t_1 более аккуратно, используя общий подход:
Для нахождения v_0 воспользуемся тем, что камень поднимается и опускается через одну и ту же высоту.
Обозначим v_0 через время подъема до максимума t_a и время падения t_b. Время, когда он достигает высоты 8.75 м, будет:
t_a = v_0/g
t_b = (v_0/g) + 3
Итак, t_b = 2 * t_a + 3, где t_b = v_0/g.
Из этого получим:
(v_0/g) = 2 * (v_0/g) + 3
Решив, найдем начальную скорость:
v_0 = 3g = 3 * 9.81 ≈ 29.43 м/с.
Ответ:
Начальная скорость камня примерно равна 29.43 м/с.