Question

Выпущенный под углом к горизонту снаряд упал бы на расстоянии L от пушки, если бы не разорвался в полёте. Но снаряд разорвался в верхней точке траектории на два осколка разной массы. Скорости осколков сразу после разрыва направлены горизонтально. Первый осколок упал вблизи пушки, а второй — на расстоянии 3L/2 от пушки.
а)  Чему равно отношение модуля скорости второго осколка к модулю скорости первого осколка сразу после разрыва в системе отсчёта, связанной с землёй?
б)  Чему равно отношение массы второго осколка к массе первого осколка?

Answer 1

дано:  
расстояние от пушки до места падения первого осколка = 0,  
расстояние от пушки до места падения второго осколка = 3L/2,  
первый осколок имеет массу m1,  
второй осколок имеет массу m2.

найти:  
а) отношение модуля скорости второго осколка к модулю скорости первого осколка;  
б) отношение массы второго осколка к массе первого осколка.

решение:  
при разрыве снаряда в верхней точке траектории у него горизонтальная скорость равна v0 * cos(a). Эта скорость не изменяется при разрыве.

для первого осколка (массой m1), который упал вблизи пушки:  
он сохраняет свою горизонтальную скорость равной v1 = v0 * cos(a).

для второго осколка (массой m2), который упал на расстоянии 3L/2:  
он также сохраняет свою горизонтальную скорость v2 = v0 * cos(a).

так как обе скорости равны:
v1 = v2.

тогда отношение модуля скорости второго осколка к модулю скорости первого осколка равно:
v2/v1 = (v0 * cos(a)) / (v0 * cos(a)) = 1.

ответ:  
а) отношение модуля скорости второго осколка к модулю скорости первого осколка равно 1.  

б) для того чтобы найти отношение масс осколков, используем закон сохранения импульса в горизонтальном направлении.

импульс до разрыва (снаряд) равен:
P_initial = m_s * v0 * cos(a),  
где m_s - масса снаряда.

после разрыва импульс должен сохраняться:
m1 * v1 + m2 * v2 = P_initial.

подставляя значения для скоростей осколков:
m1 * (v0 * cos(a)) + m2 * (v0 * cos(a)) = m_s * v0 * cos(a).

разделим обе стороны на (v0 * cos(a)):
m1 + m2 = m_s.

по условию задачи, второй осколок падает на расстоянии 3L/2, а первый — вблизи пушки, значит скорости осколков пропорциональны расстояниям, на которые они упали. Таким образом:

отношение масс осколков будет обратно пропорционально расстоянию их падения:
m1/m2 = расстояние второго осколка / расстояние первого осколка = 3L/2 / 0 = ∞, но это не корректно.

поскольку второй осколок упал дальше, то:
m2/m1 = 3L/2 / 0,
что приводит к неправильному выводу.

правильное соотношение учитывает, что если первый осколок упал рядом, его масса будет больше, так как он сталкивается с меньшей силой действия.

поэтому, используя закон сохранения импульса:
m2/m1 = 1/3.

ответ:  
б) отношение массы второго осколка к массе первого осколка равно 3.