дано:
длина нити L = 0,5 м,
массы шаров m1 и m2 относятся как 2 : 3, т.е. m1 = 2k, m2 = 3k (где k — произвольная единица массы),
угол отклонения нити от вертикали θ = 90°.
найти:
максимальную высоту, на которую поднимется более тяжёлый шар после упругого удара.
решение:
Сначала найдем высоту, на которую опустился легкий шар (m1) при отклонении на 90°. При этом он будет находиться в самой нижней точке своего движения.
При отклонении на угол θ = 90°, длина нити будет равна L, а высота H, на которую опустился шар, будет равна:
H = L - L * cos(θ) = L - 0 = L = 0,5 м.
Теперь оценим потенциальную энергию легкого шара в верхней позиции и кинетическую энергию в нижней позиции.
Потенциальная энергия легкого шара U1 в верхней позиции:
U1 = m1 * g * h = 2k * g * 0,5.
Кинетическая энергия легкого шара в нижней позиции K1 будет равна:
K1 = (1/2) * m1 * v1^2, где v1 — скорость легкого шара в момент удара.
По закону сохранения энергии:
U1 = K1,
2k * g * 0,5 = (1/2) * 2k * v1^2,
g * 0,5 = (1/2) * v1^2,
v1^2 = g.
Теперь найдем скорость легкого шара в момент удара:
v1 = sqrt(g).
Теперь применим закон сохранения импульса для двух шаров в момент удара. После удара легкий шар передаст часть своей энергии более тяжелому шару.
Импульс до удара:
p_initial = m1 * v1,
Импульс после удара:
p_final = m1 * v1' + m2 * v2',
где v1' и v2' — скорости шаров после удара.
Также необходимо учесть, что данный удар является упругим, поэтому также сохраняется энергия:
K_initial = K_final,
(1/2) * m1 * v1^2 = (1/2) * m1 * (v1')^2 + (1/2) * m2 * (v2')^2.
Согласно законам механики для упругого удара:
v1' = (m1 - m2)/(m1 + m2) * v1 + (2 * m2)/(m1 + m2) * v2,
v2' = (2 * m1)/(m1 + m2) * v1 + (m2 - m1)/(m1 + m2) * v2.
Так как в начальный момент второй шар был в состоянии покоя (v2 = 0):
v1' = (m1 - m2)/(m1 + m2) * v1,
v2' = (2 * m1)/(m1 + m2) * v1.
Теперь подставим значения:
m1 = 2k, m2 = 3k:
v1' = (2k - 3k)/(2k + 3k) * sqrt(g) = (-1k)/(5k) * sqrt(g) = -0.2 * sqrt(g),
v2' = (2 * 2k)/(2k + 3k) * sqrt(g) = (4k)/(5k) * sqrt(g) = 0.8 * sqrt(g).
Теперь найдем максимальную высоту, на которую поднимется более тяжелый шар (m2):
Потенциальная энергия после удара равна кинетической энергии при максимальной высоте:
m2 * g * h_max = (1/2) * m2 * (0.8 * sqrt(g))^2.
Упростим:
h_max = (0.5 * (0.8)^2 * g) / g = 0.5 * 0.64 = 0.32 м.
ответ:
Максимальная высота, на которую поднимется более тяжёлый шар, составляет 0,32 м.