На дне пустого стакана лежит деревянный шар радиуса R. Когда в стакан налили воду до высоты R, сила давления шара на дно стакана уменьшилась в 3 раза (рис. 37.1). Чему равна плотность дерева, из которого сделан шар?
от

1 Ответ

Дано:
- радиус шара R.
- сила давления шара на дно стакана без воды P1 = S * F, где S - площадь основания шара, F - сила тяжести шара.
- сила давления шара на дно стакана с водой P2 = S * (F - P_water), где P_water - сила Архимеда.

Найти:
Плотность дерева ρ_дерева.

Решение:

1. Площадь основания шара:
   S = π * R^2.

2. Сила тяжести шара:
   F = V * ρ_дерева * g,
   где V - объем шара = (4/3) * π * R^3.

   Тогда
   F = (4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g.

3. Сила Архимеда:
   P_water = V_water * ρ_воды * g,
   где V_water - объем вытесненной воды = (4/3) * π * R^3 (так как шар полностью погружен при уровне воды R).
   
   Тогда
   P_water = (4/3) * π * R^3 * 1000 * g (плотность воды ρ_воды = 1000 кг/м³).

4. Давление на дно стакана без воды:
   P1 = S * F = π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g].

5. Давление на дно стакана с водой:
   P2 = S * (F - P_water) = π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g - (4/3) * π * R^3 * 1000 * g].

6. По условию задачи P2 = (1/3) * P1:
   π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g - (4/3) * π * R^3 * 1000 * g] = (1/3) * [π * R^2 * (4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g].

7. Упростим уравнение:
   (4/3) * π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g - (4/3) * π * R^3 * 1000 * g] = (4/9) * π * R^2 * (4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g.

8. Убираем общие множители и упрощаем:
   (4/3) * [(4/3) * ρ_дерева - (4/3) * 1000] = (4/9) * ρ_дерева.

9. Умножим обе стороны на 9:
   12 * (ρ_дерева - 1000) = ρ_дерева.

10. Раскроем скобки:
    12 * ρ_дерева - 12000 = ρ_дерева.

11. Переносим ρ_дерева в одну сторону:
    12 * ρ_дерева - ρ_дерева = 12000,
    11 * ρ_дерева = 12000.

12. Находим ρ_дерева:
    ρ_дерева = 12000 / 11 ≈ 1090,91 кг/м³.

Ответ:
Плотность дерева, из которого сделан шар, составляет:
ρ_дерева ≈ 1090,91 кг/м³.
от