Дано:
- радиус шара R.
- сила давления шара на дно стакана без воды P1 = S * F, где S - площадь основания шара, F - сила тяжести шара.
- сила давления шара на дно стакана с водой P2 = S * (F - P_water), где P_water - сила Архимеда.
Найти:
Плотность дерева ρ_дерева.
Решение:
1. Площадь основания шара:
S = π * R^2.
2. Сила тяжести шара:
F = V * ρ_дерева * g,
где V - объем шара = (4/3) * π * R^3.
Тогда
F = (4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g.
3. Сила Архимеда:
P_water = V_water * ρ_воды * g,
где V_water - объем вытесненной воды = (4/3) * π * R^3 (так как шар полностью погружен при уровне воды R).
Тогда
P_water = (4/3) * π * R^3 * 1000 * g (плотность воды ρ_воды = 1000 кг/м³).
4. Давление на дно стакана без воды:
P1 = S * F = π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g].
5. Давление на дно стакана с водой:
P2 = S * (F - P_water) = π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g - (4/3) * π * R^3 * 1000 * g].
6. По условию задачи P2 = (1/3) * P1:
π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g - (4/3) * π * R^3 * 1000 * g] = (1/3) * [π * R^2 * (4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g].
7. Упростим уравнение:
(4/3) * π * R^2 * [(4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g - (4/3) * π * R^3 * 1000 * g] = (4/9) * π * R^2 * (4/3) * π * R^3 * ρ_дерева * g.
8. Убираем общие множители и упрощаем:
(4/3) * [(4/3) * ρ_дерева - (4/3) * 1000] = (4/9) * ρ_дерева.
9. Умножим обе стороны на 9:
12 * (ρ_дерева - 1000) = ρ_дерева.
10. Раскроем скобки:
12 * ρ_дерева - 12000 = ρ_дерева.
11. Переносим ρ_дерева в одну сторону:
12 * ρ_дерева - ρ_дерева = 12000,
11 * ρ_дерева = 12000.
12. Находим ρ_дерева:
ρ_дерева = 12000 / 11 ≈ 1090,91 кг/м³.
Ответ:
Плотность дерева, из которого сделан шар, составляет:
ρ_дерева ≈ 1090,91 кг/м³.