Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где длины сторон следующие:
- AB = a
- AD = b
- AA1 = c
Рассмотрим каждое из условий задачи.
а) Угол между прямыми AA1 и CD
1. Вектор направления прямой AA1:
Это вертикальная прямая, так как она соединяет точку A с точкой A1, и ее вектор можно записать как:
v(AA1) = (0, 0, c).
2. Вектор направления прямой CD:
Прямая CD лежит в горизонтальной плоскости, и ее вектор можно записать как:
v(CD) = (a, b, 0).
3. Для нахождения угла между прямыми используем формулу скалярного произведения:
cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|).
4. Скалярное произведение векторов:
v(AA1) · v(CD) = 0 * a + 0 * b + c * 0 = 0.
5. Модуль вектора v(AA1):
|v(AA1)| = √(0² + 0² + c²) = c.
6. Модуль вектора v(CD):
|v(CD)| = √(a² + b² + 0²) = √(a² + b²).
7. Так как скалярное произведение равно 0, то угол между прямыми равен 90°.
Ответ: Угол между прямыми AA1 и CD равен 90°.
б) Угол между прямыми AA1 и C1C
1. Вектор направления прямой AA1:
v(AA1) = (0, 0, c).
2. Вектор направления прямой C1C:
v(C1C) = (a, b, c).
3. Используем формулу для нахождения угла:
cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|).
4. Скалярное произведение векторов:
v(AA1) · v(C1C) = 0 * a + 0 * b + c * c = c².
5. Модуль вектора v(AA1):
|v(AA1)| = c.
6. Модуль вектора v(C1C):
|v(C1C)| = √(a² + b² + c²).
7. cos(θ) = c² / (c * √(a² + b² + c²)) = c / √(a² + b² + c²).
Ответ: cos(θ) = c / √(a² + b² + c²).
в) Угол между прямыми AB1 и DC
1. Вектор направления прямой AB1:
v(AB1) = (a, 0, c).
2. Вектор направления прямой DC:
v(DC) = (a, b, 0).
3. Используем формулу для нахождения угла:
cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|).
4. Скалярное произведение векторов:
v(AB1) · v(DC) = a * a + 0 * b + c * 0 = a².
5. Модуль вектора v(AB1):
|v(AB1)| = √(a² + 0² + c²) = √(a² + c²).
6. Модуль вектора v(DC):
|v(DC)| = √(a² + b² + 0²) = √(a² + b²).
7. cos(θ) = a² / (√(a² + c²) * √(a² + b²)).
Ответ: cos(θ) = a² / (√(a² + c²) * √(a² + b²)).
г) Угол между прямыми A1D и AB
1. Вектор направления прямой A1D:
v(A1D) = (0, b, c).
2. Вектор направления прямой AB:
v(AB) = (a, 0, 0).
3. Используем формулу для нахождения угла:
cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|).
4. Скалярное произведение векторов:
v(A1D) · v(AB) = 0 * a + b * 0 + c * 0 = 0.
5. Модуль вектора v(A1D):
|v(A1D)| = √(0² + b² + c²) = √(b² + c²).
6. Модуль вектора v(AB):
|v(AB)| = √(a² + 0² + 0²) = a.
7. Так как скалярное произведение равно 0, то угол между прямыми равен 90°.
Ответ: Угол между прямыми A1D и AB равен 90°.
д) Угол между прямыми B1D и BB1
1. Вектор направления прямой B1D:
v(B1D) = (a, b, c).
2. Вектор направления прямой BB1:
v(BB1) = (0, 0, c).
3. Используем формулу для нахождения угла:
cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|).
4. Скалярное произведение векторов:
v(B1D) · v(BB1) = a * 0 + b * 0 + c * c = c².
5. Модуль вектора v(B1D):
|v(B1D)| = √(a² + b² + c²).
6. Модуль вектора v(BB1):
|v(BB1)| = c.
7. cos(θ) = c² / (√(a² + b² + c²) * c) = c / √(a² + b² + c²).
Ответ: cos(θ) = c / √(a² + b² + c²).
е) Угол между прямыми B1C и AD
1. Вектор направления прямой B1C:
v(B1C) = (a, b, 0).
2. Вектор направления прямой AD:
v(AD) = (0, b, 0).
3. Используем формулу для нахождения угла:
cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|).
4. Скалярное произведение векторов:
v(B1C) · v(AD) = a * 0 + b * b + 0 * 0 = b².
5. Модуль вектора v(B1C):
|v(B1C)| = √(a² + b²).
6. Модуль вектора v(AD):
|v(AD)| = b.
7. cos(θ) = b² / (√(a² + b²) * b) = b / √(a² + b²).
Ответ: cos(θ) = b / √(a² + b²).