дано:
- сторона AB = 17 см (гипотенуза).
- tg∠A = 8/15.
найти:
- радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (r).
решение:
1. Обозначим:
- AC = b (катет, противолежащий углу A).
- BC = a (катет, прилежащий к углу A).
2. Используем тангенс угла A:
tg∠A = b/a = 8/15.
3. Из этого соотношения выразим b через a:
b = (8/15)a.
4. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора имеем:
AB² = AC² + BC², или 17² = b² + a².
5. Подставим выражение для b:
17² = (8/15)a² + a².
6. Приведем к общему знаменателю:
289 = (8/15 + 15/15)a² = (23/15)a².
7. Умножим обе стороны на 15:
15 * 289 = 23a²,
4335 = 23a².
8. Найдем a²:
a² = 4335 / 23 ≈ 188.826.
9. Найдем a:
a ≈ √188.826 ≈ 13.75 см.
10. Теперь найдем b:
b = (8/15)a ≈ (8/15) * 13.75 ≈ 7.33 см.
11. Теперь можем найти радиус r вписанной окружности:
r = (a + b - c) / 2, где c = AB = 17 см.
12. Подставим значения:
r = (a + b - 17) / 2 ≈ (13.75 + 7.33 - 17) / 2 ≈ 4.08 / 2 ≈ 2.04 см.
ответ:
- Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r ≈ 2.04 см.