Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Найти: радиус вписанной окружности r.
Решение:
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
r = (a + b - c) / 2.
Докажем эту формулу.
1. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:
S = (1/2) * a * b.
2. Полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2.
3. Радиус вписанной окружности в треугольнике можно найти через площадь и полупериметр:
r = S / p.
4. Подставим выражения для площади и полупериметра:
r = (1/2) * a * b / ((a + b + c) / 2).
5. Упростим выражение:
r = (a * b) / (a + b + c).
6. Для прямоугольного треугольника справедливо, что площадь также равна:
S = (1/2) * a * b = r * p,
где r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр.
7. Умножив обе части на 2 и выразив p, получаем:
r = (a + b - c) / 2.
Ответ: радиус вписанной окружности r равен (a + b - c) / 2.