Дано:
Точка A (-1; 2; 4) и плоскость YZ.
Точка P принадлежит оси абсцисс, следовательно, ее координаты имеют вид P(x; 0; 0).
Найти:
Координаты точки P, равноудаленной от точки A и плоскости YZ.
Решение:
Расстояние от точки до плоскости определяется как расстояние до оси X (в данной ситуации YZ). Плоскость YZ имеет уравнение x = 0, поэтому расстояние от точки P до плоскости YZ будет равно |x|.
Расстояние от точки P до точки A вычисляется по формуле:
d(P, A) = sqrt((Px - Ax)^2 + (Py - Ay)^2 + (Pz - Az)^2)
Подставляем известные значения:
d(P, A) = sqrt((x - (-1))^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 4)^2)
Это приведет к следующему выражению:
d(P, A) = sqrt((x + 1)^2 + (-2)^2 + (-4)^2)
= sqrt((x + 1)^2 + 4 + 16)
= sqrt((x + 1)^2 + 20)
Теперь установим равенство между расстояниями:
|x| = sqrt((x + 1)^2 + 20)
Возведем обе стороны в квадрат:
x^2 = (x + 1)^2 + 20
Раскроем скобки:
x^2 = x^2 + 2x + 1 + 20
Сократим x^2 с обеих сторон:
0 = 2x + 21
Решим уравнение:
2x = -21
x = -10.5
Таким образом, координаты точки P равны (-10.5; 0; 0).
Ответ:
Координаты точки P: (-10.5; 0; 0).