дано:
Точки А (2, 1, -3), В (3, 2, -2), С (4, -3, -1).
Плоскость yz задана уравнением x = 0.
найти:
Точку P (0, y, z) на плоскости yz, которая равноудалена от точек A, B и C.
решение:
Сначала выразим расстояние от точки P (0, y, z) до каждой из точек A, B и C. Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:
d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2).
1. Расстояние от P до A:
d(P, A) = √((0 - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2)
= √(4 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2).
2. Расстояние от P до B:
d(P, B) = √((0 - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2)
= √(9 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2).
3. Расстояние от P до C:
d(P, C) = √((0 - 4)^2 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2)
= √(16 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2).
Так как точки P равноудалены от A, B и C, имеем равенства:
√(4 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2) = √(9 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2)
и
√(4 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2) = √(16 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2).
Возведем обе стороны первого равенства в квадрат:
4 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 9 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2.
Упрощаем это уравнение:
(y - 1)^2 - (y - 2)^2 + (z + 3)^2 - (z + 2)^2 = 5.
Раскроем скобки:
(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 4y + 4) + ((z^2 + 6z + 9) - (z^2 + 4z + 4)) = 5.
Сократим:
-2y + 4 + 2y + 6z + 5 = 5.
Получаем:
2z + 5 = 5,
откуда z = 0.
Теперь подставляем z = 0 во второе равенство:
√(4 + (y - 1)^2 + 9) = √(16 + (y + 3)^2 + 1).
Это дает:
√(13 + (y - 1)^2) = √(17 + (y + 3)^2).
Возводим в квадрат:
13 + (y - 1)^2 = 17 + (y + 3)^2.
Раскрыв, имеем:
13 + (y^2 - 2y + 1) = 17 + (y^2 + 6y + 9).
Сокращаем:
14 - 17 - 10 = 8y.
Наконец:
-13 = 8y,
откуда y = -13/8.
Таким образом, мы нашли координаты точки P на плоскости yz:
P(0, -13/8, 0).
ответ:
Точка P (0, -13/8, 0) является искомой точкой, равноудаленной от точек A, B и C, находящейся на плоскости yz.