Дано:
a - сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды. α - угол между боковым ребром и плоскостью основания.
Найти:
Sбок - площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
Радиус основания конуса R равен половине стороны основания пирамиды:
R = a / 2
Высота пирамиды H находится через тангенс угла наклона бокового ребра к основанию:
tan(α) = H / (a/√2) H = (a/√2) * tan(α)
Образующая конуса l равна боковому ребру пирамиды. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:
l² = R² + H² = (a/2)² + [(a/√2) * tan(α)]² l = √((a²/4) + (a²/2) * tan²(α)) l = a * √(1/4 + tan²(α)/2)
Площадь боковой поверхности конуса:
Sбок = πRl = π * (a/2) * a * √(1/4 + tan²(α)/2) = (πa²/2) * √(1/4 + tan²(α)/2)
Ответ:
(πa²/2) * √(1/4 + tan²(α)/2)