Дано:
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды (a) = 6 см.
2. Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α) = 30°.
Найти:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду (R).
Решение:
1. В правильной треугольной пирамиде радиус вписанного шара можно найти по формуле:
R = V / S,
где V — объем пирамиды, S — площадь основания.
2. Площадь основания S равного треугольника вычисляется по формуле:
S = (√3 / 4) * a².
Подставим значение a:
S = (√3 / 4) * (6)² = (√3 / 4) * 36 = 9√3 см².
3. Объем V правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S * h.
4. Для нахождения высоты h пирамиды используем угол α и боковое ребро (l):
l = a / (2 * sin(60°)) = 6 / (2 * (√3 / 2)) = 6 / √3 = 2√3 см.
5. Теперь, используя угол α, высота h определяется как:
h = l * cos(α).
Подставляя значение l:
h = (2√3) * cos(30°) = (2√3) * (√3 / 2) = 3 см.
6. Теперь можем найти объем V:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * (9√3) * 3 = 9 см³.
7. Теперь подставим V и S в формулу для R:
R = V / S = 9 / (9√3) = 1 / √3 см.
Ответ:
Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен 1 / √3 см.