Question

Около конуса описана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Answer 1

Дано:
a - сторона основания правильной треугольной пирамиды. α - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Найти:
S - площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Радиус R основания конуса равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды:
R = a / √3

Высота пирамиды H определяется через тангенс угла α:
tan(α) = H / (a√3 / 6) H = (a√3 / 6) * tan(α)

Образующая конуса l равна боковому ребру пирамиды. По теореме Пифагора:
l² = H² + R² = [(a√3 / 6) * tan(α)]² + (a/√3)² l = √([(a√3 / 6) * tan(α)]² + (a²/3))

Площадь боковой поверхности конуса:
S = πRl = π * (a/√3) * √([(a√3 / 6) * tan(α)]² + (a²/3))

Ответ:
π * (a/√3) * √([(a√3 / 6) * tan(α)]² + (a²/3))