Дано:
1. Радиус шара (R).
2. Угол между боковым ребром и плоскостью основания (α).
Найти:
Высоту пирамиды (h).
Решение:
1. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро и высота образуют прямоугольный треугольник с радиусом шара, вписанного в пирамиду.
2. В этом треугольнике высота h, радиус R и боковое ребро (l) связаны следующим образом:
cos(α) = h / l.
3. Также боковое ребро можно выразить через радиус шара и угол α:
l = √(R² + h²).
4. Теперь используем две формулы. Из первой формулы выразим h:
h = l * cos(α).
5. Подставим значение l из второй формулы:
h = √(R² + h²) * cos(α).
6. Теперь квадратим обе стороны:
h² = (R² + h²) * cos²(α).
7. Раскроем скобки:
h² = R² * cos²(α) + h² * cos²(α).
8. Переносим h² * cos²(α) в левую сторону:
h² - h² * cos²(α) = R² * cos²(α).
9. Вынесем h² за скобки:
h² (1 - cos²(α)) = R² * cos²(α).
10. Используем тригонометрическую идентичность:
1 - cos²(α) = sin²(α).
11. Таким образом, у нас получается:
h² * sin²(α) = R² * cos²(α).
12. Теперь выразим h:
h = (R * cos(α)) / sin(α) = R * cotan(α).
Ответ:
Высота пирамиды равна R * cotan(α).