Дано:
β - двугранный угол при ребре основания правильной четырёхугольной пирамиды. d - расстояние от центра основания до боковой грани.
Найти:
S - площадь осевого сечения вписанного в пирамиду конуса.
Решение:
Пусть a - сторона основания пирамиды. Радиус R окружности, описанной около основания, равен a/2. Центр основания совпадает с центром описанной окружности.
Расстояние от центра основания до боковой грани (d) равно радиусу r вписанной в основание окружности, умноженному на тангенс половины двугранного угла:
d = r * tg(β/2) где r = a/2
Высота Н пирамиды:
Н = (a/2) / tg(β/2) = d/tg(β/2)
Высота вписанного конуса Hк равна 2/3 высоты пирамиды:
Hк = (2/3)H = (2d)/(3tg(β/2))
Радиус Rк основания вписанного конуса равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности:
Rк = a/2 = d/tg(β/2)
Образующая l вписанного конуса:
l² = Rк² + Hк² = (d/tg(β/2))² + ((2d)/(3tg(β/2)))² l = (d/tg(β/2)) * √(1 + 4/9) = (d√13)/(3tg(β/2))
Площадь осевого сечения конуса (равнобедренный треугольник):
S = Rк * l = (d/tg(β/2)) * (d√13)/(3tg(β/2)) = (d²√13) / (3tg²(β/2))
Ответ:
(d²√13) / (3tg²(β/2))