Дано:
Точка C(4; -2√10; -2), начало координат O(0; 0; 0), радиус сферы r = 3√10. Центр сферы лежит на координатной плоскости xz, то есть его координата по оси y равна нулю.
Найти: уравнение сферы.
Решение:
Уравнение сферы с центром в точке (x₀; y₀; z₀) и радиусом r записывается в виде:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = r².
Поскольку центр сферы лежит на плоскости xz, его координаты имеют вид (x₀; 0; z₀), то есть y₀ = 0. Таким образом, уравнение сферы будет:
(x - x₀)² + y² + (z - z₀)² = r².
Для того чтобы найти координаты центра сферы, используем информацию о том, что сфера проходит через точку C(4; -2√10; -2) и начало координат O(0; 0; 0).
1. Найдем радиус сферы.
Радиус сферы — это расстояние от центра сферы до любой точки на ней. Для того чтобы найти радиус, вычислим расстояние от центра сферы до точки C(4; -2√10; -2). Пусть центр сферы имеет координаты (x₀; 0; z₀), тогда расстояние между центром и точкой C можно выразить через формулу расстояния между двумя точками:
d = √((x₀ - 4)² + (0 - (-2√10))² + (z₀ - (-2))²).
Расстояние между центром сферы и точкой C равно радиусу сферы, который равен 3√10. Значит, получаем:
3√10 = √((x₀ - 4)² + (2√10)² + (z₀ + 2)²).
Возведем обе части в квадрат:
(3√10)² = (x₀ - 4)² + (2√10)² + (z₀ + 2)².
90 = (x₀ - 4)² + 40 + (z₀ + 2)².
Приведем подобные:
90 = (x₀ - 4)² + (z₀ + 2)² + 40.
Получаем:
50 = (x₀ - 4)² + (z₀ + 2)².
2. Далее, так как центр сферы лежит на плоскости xz, то его координата по оси y равна нулю, то есть y₀ = 0.
Теперь рассмотрим расстояние от центра сферы до начала координат O(0; 0; 0). Это расстояние также равно радиусу сферы 3√10. Составим уравнение для этого расстояния:
3√10 = √(x₀² + 0² + z₀²).
Возведем обе части в квадрат:
(3√10)² = x₀² + z₀².
90 = x₀² + z₀².
3. Теперь у нас есть система уравнений:
(1) 50 = (x₀ - 4)² + (z₀ + 2)²,
(2) 90 = x₀² + z₀².
Разкроем квадратные выражения в уравнении (1):
50 = (x₀² - 8x₀ + 16) + (z₀² + 4z₀ + 4).
Подставим (x₀² + z₀²) = 90 из уравнения (2):
50 = 90 - 8x₀ + 16 + 4z₀ + 4.
Упростим:
50 = 110 - 8x₀ + 4z₀.
Переносим все на одну сторону:
8x₀ - 4z₀ = 60.
Разделим на 4:
2x₀ - z₀ = 15.
Таким образом, мы получаем линейное уравнение:
2x₀ - z₀ = 15.
4. Решим систему из уравнений (2) и (3):
x₀² + z₀² = 90,
2x₀ - z₀ = 15.
Выразим z₀ через x₀ из уравнения (3):
z₀ = 2x₀ - 15.
Подставим это в уравнение (2):
x₀² + (2x₀ - 15)² = 90.
Раскроем квадрат:
x₀² + (4x₀² - 60x₀ + 225) = 90.
Приведем подобные:
5x₀² - 60x₀ + 225 = 90.
Упростим:
5x₀² - 60x₀ + 135 = 0.
Разделим на 5:
x₀² - 12x₀ + 27 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
x₀ = (12 ± √(12² - 4×1×27)) / (2×1),
x₀ = (12 ± √(144 - 108)) / 2,
x₀ = (12 ± √36) / 2,
x₀ = (12 ± 6) / 2.
Получаем два возможных значения для x₀:
x₀ = (12 + 6) / 2 = 9 или x₀ = (12 - 6) / 2 = 3.
Подставим эти значения в уравнение для z₀:
1. Если x₀ = 9, то z₀ = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3.
2. Если x₀ = 3, то z₀ = 2(3) - 15 = 6 - 15 = -9.
Таким образом, возможные координаты центра сферы — (9; 0; 3) или (3; 0; -9).
5. Уравнение сферы с центром в точке (x₀; 0; z₀) и радиусом r = 3√10 будет иметь вид:
(x - x₀)² + y² + (z - z₀)² = (3√10)².
Для центра (9; 0; 3):
(x - 9)² + y² + (z - 3)² = 90.
Для центра (3; 0; -9):
(x - 3)² + y² + (z + 9)² = 90.
Ответ:
Уравнение сферы с центром в точке (9; 0; 3) и радиусом 3√10:
(x - 9)² + y² + (z - 3)² = 90.
Уравнение сферы с центром в точке (3; 0; -9) и радиусом 3√10:
(x - 3)² + y² + (z + 9)² = 90.