Дано:
1. Уравнение сферы: x^2 + y^2 + z^2 = 9.
2. Точка A (-2; 1; 2).
Найти:
Уравнение плоскости, касающейся сферы в точке A.
Решение:
1. Определим центр и радиус сферы. Уравнение сферы x^2 + y^2 + z^2 = 9 имеет центр в точке O(0; 0; 0) и радиус r = sqrt(9) = 3.
2. Найдем вектор нормали к плоскости, который будет направлен от центра сферы O к точке A. Этот вектор можно выразить как:
n = A - O = (-2 - 0; 1 - 0; 2 - 0) = (-2; 1; 2).
3. Уравнение плоскости в общем виде записывается как:
n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0,
где (n1, n2, n3) — координаты нормали, а (x0, y0, z0) — координаты точки касания (в данном случае точки A).
4. Подставим значения в уравнение:
-2(x + 2) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0.
5. Раскроем скобки и упростим:
-2x - 4 + y - 1 + 2z - 4 = 0.
-2x + y + 2z - 9 = 0.
6. Приведем уравнение к стандартному виду:
2x - y - 2z = -9.
Ответ:
Уравнение плоскости: 2x - y - 2z = -9.