Дано:
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды (a) = 6 см.
2. Боковое ребро (l) = √21 см.
Найти:
Радиус сферы, вписанной в данную пирамиду (R).
Решение:
1. Площадь основания (S_основания) правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника:
S_основания = (√3 / 4) * a².
Подставим значение a:
S_основания = (√3 / 4) * 6² = (√3 / 4) * 36 = 9√3 см².
2. Полупериметр основания (p) треугольника:
p = 3a / 2 = 3 * 6 / 2 = 9 см.
3. Высоту пирамиды (h) можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном высотой, половиной стороны основания и боковым ребром:
h² + (a/2)² = l².
Подставим значения:
h² + (6/2)² = (√21)².
h² + 3² = 21.
h² + 9 = 21.
h² = 12.
h = √12 = 2√3 см.
4. Радиус вписанной сферы (R) в правильную треугольную пирамиду можно найти по формуле:
R = (S_основания * h) / (3 * S_основания + 3 * S_боковые).
5. Площадь боковых граней (S_боковые) равна:
S_боковые = (1/2) * основание * высота боковой грани.
Высота боковой грани h_b можно найти как:
h_b = √(l² - (a/2)²) = √(21 - 9) = √12 = 2√3 см.
Площадь одной боковой грани = (1/2) * a * h_b = (1/2) * 6 * 2√3 = 6√3 см².
Поскольку боковых граней три, получаем:
S_боковые = 3 * 6√3 = 18√3 см².
6. Подставляем значения в формулу для R:
R = (S_основания * h) / (3 * S_основания + S_боковые).
R = (9√3 * 2√3) / (3 * 9√3 + 18√3).
R = (18 * 3) / (27√3) = 54 / (27√3) = 2 / √3.
Ответ:
Радиус сферы, вписанной в данную пирамиду, равен 2 / √3 см.