Question

Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота — 9 см.

Answer 1

Дано:
1. Сторона меньшего основания (a1) = 5 см.
2. Сторона большего основания (a2) = 10 см.
3. Высота усечённой пирамиды (h) = 9 см.

Найти:

Объем усечённой пирамиды (V).

Решение:

1. Площадь меньшего основания S1:

   S1 = (√3 / 4) * a1² = (√3 / 4) * 5² = (√3 / 4) * 25 = (25√3) / 4 см².

2. Площадь большего основания S2:

   S2 = (√3 / 4) * a2² = (√3 / 4) * 10² = (√3 / 4) * 100 = (100√3) / 4 см² = 25√3 см².

3. Теперь найдем объем V усечённой пирамиды по формуле:

   V = (1/3) * h * (S1 + S2 + √(S1 * S2)).

4. Подставим известные значения:

   V = (1/3) * 9 * ((25√3) / 4 + 25√3 + √((25√3) / 4 * 25√3)).

5. Упростим:

   V = (1/3) * 9 * ((25√3) / 4 + (100√3) / 4 + √((25 * 25 * 3) / 4)).

6. Считаем √((25 * 25 * 3) / 4):

   √(625 * 3 / 4) = (25√3) / 2.

7. Теперь можем выразить объем:

   V = (1/3) * 9 * ((125√3) / 4 + (25√3) / 2).

8. Приведем к общему знаменателю:

   V = (1/3) * 9 * ((125√3) / 4 + (50√3) / 4) = (1/3) * 9 * (175√3 / 4).

9. Упростим:

   V = (525√3) / 12.

10. Упрощаем:

    V = (175√3) / 4 см³.

Ответ:
Объем правильной треугольной усечённой пирамиды равен (175√3) / 4 см³.