Дано:
- Высота конуса H
Найти:
- Объём шара, описанного около данного конуса.
Решение:
1. В правильном треугольнике, который является осевым сечением конуса, основание будет равно 2R, где R — радиус вписанной окружности (половина основания конуса), а высота будет равна H. Для правильного треугольника:
h = R√3.
2. Соотношение между высотой конуса и радиусом окружности будет:
H = (R√3).
3. Отсюда находим R:
R = H / √3.
4. Радиус описанного шара R_около может быть найден по формуле для радиуса шара, описанного около конуса:
R_около = √(R² + H²).
5. Подставим значение R:
R_около = √((H/√3)² + H²),
R_около = √((H²/3) + H²),
R_около = √((H²/3) + (3H²/3)),
R_около = √((4H²/3)),
R_около = (2H/√3).
6. Теперь вычислим объём шара V:
V = (4/3) * π * R_около³,
V = (4/3) * π * ((2H/√3)³),
V = (4/3) * π * (8H³/3√3).
7. Упрощаем:
V = (32H³π)/(9√3).
Ответ:
Объём шара, описанного около данного конуса, составляет (32H³π)/(9√3) см³.