Дано:
- Образующая усечённого конуса l (в СИ)
- Угол между образующей и плоскостью большего основания α
- Диагонали осевого сечения перпендикулярны
Найти:
- Объём усечённого конуса V
Решение:
1. В силу того, что диагонали осевого сечения перпендикулярны, можно заключить, что высота H усечённого конуса и разница радиусов оснований r1 и r2 связаны следующим образом:
H = (r1 - r2) / tan(α).
2. Выразим радиусы оснований через образующую l и угол α. Радиусы можно найти из треугольника, образованного высотой H и образующей l:
r1 = l * sin(α),
r2 = l * sin(β),
где β - это угол между образующей и плоскостью меньшего основания. Поскольку угол между образующими равен 90° - α, то:
β = 90° - α.
3. Запишем:
r2 = l * sin(90° - α) = l * cos(α).
4. Теперь подставим выражения для радиусов в формулу для высоты H:
H = (l * sin(α) - l * cos(α)) / tan(α),
H = l * (sin(α) - cos(α)) / tan(α).
5. Напомним, что объём усечённого конуса рассчитывается по формуле:
V = (1/3) * H * (S1 + S2),
где S1 и S2 - площади оснований. Площади оснований можно выразить как:
S1 = π * r1² и S2 = π * r2².
6. Подставим значения:
V = (1/3) * H * (π * (l * sin(α))² + π * (l * cos(α))²).
7. Упростим выражение:
V = (1/3) * H * π * [l² * (sin²(α) + cos²(α))],
V = (1/3) * H * π * l²,
так как sin²(α) + cos²(α) = 1.
8. Подставим H:
V = (1/3) * [l * (sin(α) - cos(α)) / tan(α)] * π * l²,
V = (1/3) * (l³ * (sin(α) - cos(α)) / sin(α) * cos(α)) * π.
Ответ:
Объём усечённого конуса составляет (1/3) * (l³ * (sin(α) - cos(α)) / (sin(α) * cos(α))) * π м³.