Дано:
x = sin t,
y = 5 cos t.
Найти: уравнение траектории материальной точки.
Решение:
Для нахождения уравнения траектории необходимо выразить зависимость между x и y, устранив параметр времени t. Для этого воспользуемся уравнениями для x и y:
1. Из уравнения x = sin t выразим t:
t = arcsin(x).
2. Подставим t в уравнение для y = 5 cos t:
y = 5 cos(arcsin(x)).
3. Используем тригонометрическую идентичность для косинуса через синус:
cos(arcsin(x)) = √(1 - x²).
4. Таким образом, уравнение для y будет:
y = 5√(1 - x²).
Ответ: Уравнение траектории материальной точки имеет вид:
y = 5√(1 - x²).
Это уравнение описывает полуэллипс с полуосью по оси x равной 1 и полуосью по оси y равной 5.
Для черчения траектории:
1. Осмотрим диапазон значений x: так как √(1 - x²) существует только для -1 ≤ x ≤ 1, то точка движется вдоль части полуэллипса с такими пределами по оси x.
2. Для различных значений x от -1 до 1 можно вычислить соответствующие значения y и построить траекторию.
С учетом масштаба:
- По оси x берем от -1 до 1.
- По оси y строим от -5 до 5.
Таким образом, траектория будет представлять собой полуэллипс, расположенный в верхней половине координатной плоскости.