Дано:
- начальная скорость v_0 = 20 м/с
- высота h = 15 м
- ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти: скорость камня v в момент, когда он достигнет высоты 15 м (в первый и второй раз).
Решение:
1. Найдем вертикальную составляющую начальной скорости. Обозначим угол броска как α. Тогда:
v_0y = v_0 * sin(α),
где v_0y - вертикальная составляющая.
2. Используем уравнение движения для вертикального перемещения:
h = v_0y * t - (1/2) * g * t².
3. Поскольку мы не знаем угол α, воспользуемся общим уравнением, чтобы найти время t, когда камень находится на высоте 15 м:
15 = (v_0 * sin(α)) * t - (1/2) * g * t².
4. Это уравнение является квадратным по t. Чтобы решить его, выразим t:
(1/2) * g * t² - (v_0 * sin(α)) * t + 15 = 0.
5. Найдем значения t с помощью формулы корней квадратного уравнения:
D = b² - 4ac,
где a = (1/2) * g, b = -v_0 * sin(α), c = 15.
6. После нахождения времени подставляем полученное значение t в уравнение для скорости.
Скорость в момент времени t определяется как:
v = v_0y - g * t.
Однако, поскольку угла нет, для упрощения решения используем общую формулу для скорости. При достижении высоты 15 м, камень будет иметь одинаковые скорости на двух разных участках пути (при подъеме и спуске):
7. Найдем вертикальную скорость v_y в момент достижения высоты 15 м:
v_y^2 = v_0y^2 - 2g * h.
Подставляем значения:
v_y^2 = (20 * sin(α))^2 - 2 * 9.81 * 15.
Таким образом, нам нужно знать v_0y для оценки v_y, но можно использовать общий закон сохранения энергии:
8. Общая механическая энергия сохраняется, и кинетическая энергия при старте равна потенциальной энергии на высоте 15 м плюс кинетическая энергия на этой высоте:
(1/2) * m * (20^2) = m * g * 15 + (1/2) * m * v_y^2.
Упрощаем (м уходит):
200 = 9.81 * 15 + (1/2) * v_y^2 => 200 = 147.15 + (1/2) * v_y^2.
9. Решаем уравнение для v_y:
200 - 147.15 = (1/2) * v_y^2 => 52.85 = (1/2) * v_y^2 => v_y^2 = 105.7 => v_y ≈ 10.28 м/с.
10. Теперь найдем полную скорость v в момент достижения высоты 15 м. Так как горизонтальная скорость остается постоянной:
v_x = v_0 * cos(α).
Полная скорость:
v = sqrt(v_x^2 + v_y^2).
11. Известно, что в начале v_x^2 + v_y^2 = v_0^2:
v = sqrt(20^2 - 2 * 9.81 * 15) = sqrt(400 - 294.3) = sqrt(105.7) ≈ 10.28 м/с.
Ответ:
Скорость камня при первом и втором достижении высоты 15 м будет примерно равна 10.28 м/с.