Дано:
- Диаметр непрозрачного диска: 10 см = 0.1 м.
- Диаметр светящегося диска: 20 см = 0.2 м.
- Расстояние между дисками: 50 см = 0.5 м.
Найти:
а) Минимальное расстояние от непрозрачного диска до экрана, чтобы на экране была только полутень.
б) Диаметр полутени на экране.
Решение:
а) Для того чтобы на экране была только полутень, необходимо, чтобы на экране был участок, где свет от светящегося диска только частично перекрывается непрозрачным диском, но не полностью. Этот участок будет находиться на границе полутени.
Мы используем подобие треугольников. Тень от светящегося диска на экране будет представлять собой круг с радиусом, пропорциональным расстоянию от светящегося диска. Полутень будет ограничена в точке, где радиус светящегося диска в 2 раза больше радиуса непрозрачного диска.
Площадь полутени образуется при взаимном перекрытии светящегося и непрозрачного дисков. Применим подобие треугольников для этого случая.
Радиус светящегося диска Rс = 0.2 м / 2 = 0.1 м.
Радиус непрозрачного диска Rн = 0.1 м / 2 = 0.05 м.
Расстояние между центрами дисков 0.5 м. Теперь применим принцип подобия треугольников.
Для полутени:
Rс / Rн = (d + 0.5) / d,
где d — это минимальное расстояние от непрозрачного диска до экрана.
Подставляем известные значения:
0.1 / 0.05 = (d + 0.5) / d,
2 = (d + 0.5) / d.
Теперь решим это уравнение:
2d = d + 0.5,
2d - d = 0.5,
d = 0.5 м.
Ответ на пункт а: Минимальное расстояние от непрозрачного диска до экрана должно быть 0.5 м.
б) Чтобы найти диаметр полутени на экране, рассмотрим радиус полутени. Радиус полутени будет равен разнице радиусов светящегося и непрозрачного дисков, масштабированной на расстояние от экрана.
Площадь полутени — это зона, где тень от непрозрачного диска частично перекрывает светящийся диск.
Используем аналогию с треугольниками:
Rс / Rн = (d + x) / d,
где x — радиус полутени, а d = 0.5 м.
Подставляем:
0.1 / 0.05 = (0.5 + x) / 0.5,
2 = (0.5 + x) / 0.5.
Теперь решим:
2 * 0.5 = 0.5 + x,
1 = 0.5 + x,
x = 0.5 м.
Таким образом, диаметр полутени на экране будет:
Диаметр полутени = 2 * x = 2 * 0.5 = 1 м.
Ответ на пункт б: Диаметр полутени на экране будет 1 м.