Докажите,  что  если  радиус  описанной  около  треугольника  окружности  равен  половине  его  стороны,  то  треугольник  —  прямоугольный
от

1 Ответ

дано: радиус описанной вокруг треугольника окружности R равен половине одной из сторон треугольника. Обозначим эту сторону как a, то есть R = a / 2.

найти: доказать, что треугольник является прямоугольным.

решение:
1. По свойству описанной окружности для любого треугольника, радиус R описанной окружности выражается через его стороны и площадь следующим образом:
   R = abc / (4S), где a, b, c - стороны треугольника, а S - его площадь.

2. Поскольку по условию R = a / 2, можем записать это равенство в виде:
   a / 2 = abc / (4S).

3. Умножив обе части на 4S, получаем:
   2S = abc.

4. Для прямоугольного треугольника мы знаем, что площадь S может быть выражена как:
   S = (1/2) * основание * высоту.
   
   Если обозначить катеты как b и c, то площадь будет:
   S = (1/2) * b * c.

5. Подставим это значение площади в уравнение 2S = abc:
   2 * (1/2) * b * c = a * b * c,
   или сокращая на b (при условии, что b не равно нулю):
   c = a.

6. Это уравнение показывает, что один из катетов (c) равен гипотенузе (a), что невозможно в треугольнике, если только не существует угол в 90 градусов, который делает одну из сторон (катет) равной другой.

7. Таким образом, треугольник ABC обязательно должен быть прямоугольным, так как в противном случае не выполняется условие равенства.

ответ: если радиус описанной около треугольника окружности равен половине его стороны, то треугольник является прямоугольным.
от